POLA BILANGAN,BARIS,DAN DERET

Posted by : Unknown Rabu, 08 Oktober 2014

MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 6 : Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

Barisan Aritmatika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U₁ = 3 =+ 4 (0)

       U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       U_n = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
       U_n = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
        U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
        U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_nmaka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus

b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

SOAL LATIHAN

1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

Penyelesaian :

*) y – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x

*) y= 5x 4x = 36→ x = 9 → y = 45

U₅ = 9 → a + 4b = 9

U₂ = 45 → a + b = 45 -

3b = -36

b = – 12 U₁₀ = a + 9b

a = 57 = 57 – 108 = – 51

2. Misalkan a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a₂ = 8 maka tentukan a₆ !

a₁ + a₂ + a₃+ a₄+ a₅+ a₆ = 75 a₂ = 8

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8

6a + 15b = 75 a = 8 – b

2a + 5b = 25

2(8 – b) + 5b = 25

16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a₆ = a + 5b = 5 + 15 = 20

3. 1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

= 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

= 1–3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197

= 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

= 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

= 198 + 6336 – 3267 = 3267

4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

kelompok 1 : {1},

kelompok 2 : {3,5},

kelompok 3 : {7,9,11},

kelompok 4 : {13,15,17,19}, …

dst

maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

kelompok 1 : {1} = 1² – 0

kelompok 2 : {3,5} = 2² – 1

kelompok 3 : {7,9,11} = 3² – 2

kelompok 4 : {13,15,17,19} = 4² – 3

Kelompok 100 : = 100² – 99 = 10.000 – 99 = 9.901

5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

(a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

a² = (a + 9)(a – 6)

a² = a² + 3a – 54

3a = 54 → a = 18

Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

S₁₀ = 5(2a + 9b) U₁₁ + U₁₂ = 2 2a + 9b = – 22

– 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 -

– 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24 b =2 → a = – 20

sehingga a + a + b = – 40 + 2 = – 38

7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

a.b.c.d.e = 1.024

a.ar.ar².ar³.ar⁴ = 4⁵ karena c merupakan suku ke-3 maka

a⁵.r¹⁰ = 4⁵ c = ar² = 4

(ar²)⁵ = 4⁵

ar² = 4

8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !

y : x = x : 3 18 – y = y – x

x² = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

x² = 3(18 + x)/2

2x² = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

2x² – 3x – 54 =0

(2x + 9)(x – 6) = 0

x = 6 → y = 12

9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

r – q = q – p r = 3p p + q + r = 12

2q = p + r p + 2p + 3p = 12

2q = p + 3p 6p = 12

2q = 4p p = 2→ q = 4 → r = 6

q = 2p

sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

10. Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

2S₄ = 3(U₂ +U₄)

2 a(r⁴ - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar³)

2a(r⁴ – 1) = 3ar(1 + r²)(r – 1)

2(r² + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r² +1)(r – 1) x = a + 2b = 2 + 4 = 6

2r + 2 = 3r y = a + 4b = 2 + 8 = 10

r = 2 z = a + 5b = 2 + 10 = 12

U₁ U₂ x U₃ y z w U₄ w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

a 2a 4a 8a x + y + z + w = 42

b =2a – a

2 = a